www.didactic.ro

[constantin_obreja]

Avem 343=11*31+2 (o alegere)
Problema: Sa se afle toate numerele de forma aba care impartite la 11 dau restul 2.
Restrictie: solutia sa fie data prin calcul si nu printr-un program.

[daviodan]

Avem 343=11*31+2 (o alegere)
Problema: Sa se afle toate numerele de forma aba care impartite la 11 dau restul 2.
Restrictie: solutia sa fie data prin calcul si nu printr-un program.

Din aba:11=q rest 2 deducem aba=11q+2.Numarul aba poate fi :1b1,2b2,3b3,4b4,5b5,6b6,7b7,8b8,9b9.
1.Daca aba=1b1 atunci produsul 11q se termina in 9=>q=9=>11*9+2=101
2.Daca aba=2b2 atunci produsul 11q se termina in 0=>q=20=>11*20+2=222
3.Daca aba=3b3 atunci produsul 11q se termina in 1=>q=31=>11*31+2=343
4.Daca aba=4b4 atunci produsul 11q se termina in 2=>q=42=>11*42+2=464
5.Daca aba=5b5 atunci produsul 11q se termina in 3=>q=53=>11*53+2=585
6.Daca aba=6b6 atunci produsul 11q se termina in 4=>q=54 sau 64 dar nu se obtin numere de forma aba
7.Daca aba=7b7 atunci produsul 11q se termina in 5=>q=65=>11*65+2=717
8.Daca aba=8b8 atunci produsul 11q se termina in 6=>q=76=>11*76+2=838
9.Daca aba=9b9 atunci produsul 11q se termina in 7=>q=87=>11*87+2=959
In concluzie numerele de forma aba care impartite la 11 dau restul 2 sunt:101,222,343,464,585,717,838,959.

[constantin_obreja]

Ma bucura rapiditatea gasirii solutiei dar ma gandesc daca nu cumva am uitat una dintre cerinte: nu am dorit o solutie de tip program, adica nu una in care sa analizez toate cazurile posibile. M-as gandi ce ar fi daca as schimba numarul, impartitorul sau restul? Ar trebui sa raman cu ideea de rezolvare, alta decat cea de analiza a tuturor posibilitatilor triate.
Ca sa fiu mai explicit, daca trec la scrierea sistematica a numarului aba, obtin ecuatia 101a+10b-11x=2. Cum gasesc o solutie particulara (deja o stim, nu?) si cum le gasesc pe toate. Rezolvand asta vom fi rezolvat si problema oricaror modificari (?!) potrivite.
Numai bine,

[constantin_obreja]

Sa spunem ca am vazut rapid solutia particulara a ecuatiei 101a+10b-11x=2: a=1, b=0, x=9 si gasim alte solutii a=1+k, b=2k, x=9+11k. Intuitiv credem ca astea sunt toate; chiar sunt? Probabil ca da, dar n-am control. Apoi ce ma fac daca in loc de 11 scriu 17 sau 23? Nu cred ca e simplu ca sa gasesc solutii particulare si nici sa dau o forma a solutiei generale (daca e!). Despre ecuatii diofantice stim ceva dar nu-mi aduc aminte sa ne fi intalnit cu mai multe necunoscute .. imprevizibile! Aveti o bibliografie? Computer am si eu si ceva programare mai stiu; aici se cere un neuron care, momentan, chiuleste! Il ajutati?
Numai bine,

[minolta]

Avem 343=11*31+2 (o alegere)
Problema: Sa se afle toate numerele de forma aba care impartite la 11 dau restul 2.
Restrictie: solutia sa fie data prin calcul si nu printr-un program.

Din aba:11=q rest 2 deducem aba=11q+2.Numarul aba poate fi :1b1,2b2,3b3,4b4,5b5,6b6,7b7,8b8,9b9.
1.Daca aba=1b1 atunci produsul 11q se termina in 9=>q=9=>11*9+2=101
2.Daca aba=2b2 atunci produsul 11q se termina in 0=>q=20=>11*20+2=222
3.Daca aba=3b3 atunci produsul 11q se termina in 1=>q=31=>11*31+2=343
4.Daca aba=4b4 atunci produsul 11q se termina in 2=>q=42=>11*42+2=464
5.Daca aba=5b5 atunci produsul 11q se termina in 3=>q=53=>11*53+2=585
6.Daca aba=6b6 atunci produsul 11q se termina in 4=>q=54 sau 64 dar nu se obtin numere de forma aba
7.Daca aba=7b7 atunci produsul 11q se termina in 5=>q=65=>11*65+2=717
8.Daca aba=8b8 atunci produsul 11q se termina in 6=>q=76=>11*76+2=838
9.Daca aba=9b9 atunci produsul 11q se termina in 7=>q=87=>11*87+2=959
In concluzie numerele de forma aba care impartite la 11 dau restul 2 sunt:101,222,343,464,585,717,838,959.

Pai, trebuie sa observati ce legatura exista intre doua -trei rezultate, apoi celelalte rezulta imediat. De exemplu, legatura dintre primele trei rezultate :

222 - 101 = 121; 343 - 222 = 121, de unde, prin adunare, rezulta celelalte: 343 + 121 = 464; 464 + 121 = 585 ,...

Alt exemplu:

Pentru aba = 13 * x + 12
u(1b1 - 12) = 9 , gasim numarul 181
u(2b2 - 12) = 0 , gasim numarul 272
272 - 181 = 91
Urmeaza:

272 + 91 = 363
363 + 91 = 454
s.a.m.d.

Control exista, pentru ca a si b sunt cifre, ...

[sorinborodi]

101a+10b=11k+2 => 99a+2a+11b-b-2=11k => 2a-b-2 divizibil cu 11. Din 2a-b-2=0 si 2a-b-2=11 se obtin solutiile.