www.didactic.ro

[nickxyzt]

Se dă triunghiul oarecare ABC, ascuţitunghic. Fie AD bisectoarea unghiului BAC. Fie M mijlocul laturii BC, din care ridicăm mediatoarea laturii BC. Aceasta intersectează bisectoarea în punctul O. Din O ducem ON perpendiculară pe AC, şi OP perpendiculară pe AB. Unim O cu B şi O cu C.

Bisectoarea este locul geometric al punctelor egal depărtate de laturile unghiului. Rezultă OP=ON.

Mediatoarea este locul geometric al punctelor egal depărtate de capetele segmentului. Rezultă OB=OC.

În triunghiurile dreptunghice OPB şi ONC, avem ipotenuzele congruente, şi o pereche de catete congruente. Conform cazului de congruenţă „ipotenuză-catetă”, ele sunt congruente. Rezultă BP=NC (1).

Triunghiurile APO şi ANO sunt de asemenea congruente, fiind dreptunghice, având ipotenuza comună şi având o pereche de unghiuri congruente. Rezultă AP=AN (2).

Din (1) şi (2), rezultă că AB=AC. Adică triunghiul ABC este isoscel. Adică orice triunghi este isoscel.

Unde este greşeala?

[nickxyzt]

Şi dacă cumva vă întrebaţi ce se întâmplă când bisectoarea şi mediatoarea se intersectează în afara triunghiului, sau când triunghiul este obtuzunghic....

[dragos276]

Figurile nu sunt corecte , bisectoarea se intalneste cu mediatoarea in afara triunghiului. Ceea ce ai scris tu acolo e o demonstratie prin absurd.

[nickxyzt]

Foarte corect

Într-adevăr, aşa este, bisectoarea şi mediatoarea se întâlnesc întotdeauna în afara triunghiului. Şi din punctul de intersecţie, o perpendiculară cade pe o latură a triunghiului, şi cealaltă cade pe prelungirea celeilalte!