www.didactic.ro

[botezatdorin]

-

Funcţia de gradul I
sau funcţia afină


In studiul matematicii în şcoală, o întâlnim pentru prima dată în casa a VII a.
Datorita formei graficului,care este o dreaptă, suntem tenteaţi să o numim funcţia liniară.

Funcţia liniară

O funcţie f: IR IR , se numeşte liniară, dacă îndeplineşte condiţiile de liniarietate:

1) f(x1 + x2) = f (x1) + f(x2) şi
2) f(Îťx) = Îťf(x).
x1,x2,x IR , Îť IR.

Funcţia de gradul I ,are expresia : f(x) = ax + b.
Să verificăm prima condiţie.

f(x1 + x2) = a(x1 + x2) + b
f (x1) + f (x2) = ax1 + b + ax2+ b.

Condiţia 1) este îndeplinită numai dacă b = 0.
Pentru condiţia a doua ,

f (Îťx) = Îťx + b, iar
Îťf(x) = Îť(ax + b) = Îťax + Îťb.

Condiţia 2) este îndeplinită numai dacă b = 0.

În concluzie , funcţia DE gradul I este liniară dacă are expresia:

f : IR IR , f(x) = ax, a IR.

Funcţia : f : IR IR , f(x) = ax + b se numeşte ,funcţie afină.

Ce este mai trist este că această eroare se transmite şi cu ajutorul manualelor cât şi prin intermediul culegerilor de probleme.
Deoarece s-a extins la nivel de ţară o să fie greu de remediat.
Înlocuiri similare de denumiri mai găsim: Xerox în loc de copiator (vezi marca), PECO în loc de benzinărie,Pemper în loc de scutec,etc.


Cu stima al d-vs. coleg Dorin Botezat,prof.gr.I pensionar.

[constantin_obreja]

Cred ca inafara de titlul si descriere, n-am ce sa va mai spun! Daca le-ati citit, ati inteles! Dar, noi profesorii avem darul REPETITIEI, si .... incerc sa va ..induplec.. sa intelelegeti de ce, acum, e asa!
1. Cred ca termenul AFIN nu v-a sunat romaneaste nici macar la varsta pensionarii! Nu are o temeinicie romaneasca, deci (si mi se pare firesc!) nu are ce cauta in .. intimitatea matematematica a unui copil de cls7, 8! Dumneavostra cum va suna FRACTALII si TEORIA HAOSULUI in urechi?
Student fiind, am intrebat un profesor DE CE FORMA RESPECTIVA DE NUMESTE FORMA CANONICA? Raspunsul a fost atat de sec incat .... nu-l reproduc! (Oricum, era decent!)
2. Functie liniara (si nu afina) pentru ca elevul sa aiba IMAGINEA REPREZENTARII GRAFICE a functiei: o multime de puncte coliniare! Cred ca s-a ajuns la concluzuia ca OMUL CREDE NUMAI CEEA CE VEDE! (trist, dar asa pare!)
3. ..... Ma bucura faptul ca OAMENI CARE AU CONSTRUIT CEVA ( pe noi sau pe alti ca noi) inca palpita de DORUL MATEMATICII adevarate! SA FITI SANATOS, d-le PROFESOR, si mai certati-ne cateodata cand calcam in strachinile pregatite de altii! Noi, sa stiti, facem tot matematica traditionala: doar o cosmetizam IN CLASA: ei spun asa, voi scrieti ca ei dar ... intelegeti asta! ASA ATI FACUT SI DVS.! Matematica si nu numai!
4. Multa sanatate si ... intelegere!
Cu stima,

[mariusb]

1. Prin functie liniara (sau aplicatie liniara) se intelege un morfism de spatii liniare (... vezi structuri algebrice) .
2. Cand afirmati ca manualele fac confuzii, poate va referiti la manualele de gimnaziu. Manualele de liceu (sau cel putin cel propriu) aduce in discutie cate ceva despre functia afina, aratand ce este.
3. La nivelul gimnazial nu cred ca se impune sa se faca distinctie clara intre diversele semnificatii (cel putin de limbaj) intre asemenea notiuni. Imaginea geometrica pe R a unei functii liniare este o dreapta care trece prin originea sistemului de axe (un subspatiu de dimensiune 1 al spatiului liniar R2 care este planul ....). Aici se pune accentul pe forma vizuala a acestei multimi (subspatiu) si mai putin pe analiza proprietatilor structurale ale acestei multimi. De aceea cred ca este firesc ca elevul sa fie deprins mai mult cu aspectul geometric al notiunii si nu cu cel structural (...geometria afina, geometria spatiilor liniare, metrice...), pe care cred ca nu le intelege la aceasta varsta oricat i se va explica (chiar si studentii nu fac cu usurinta distinctie intre acestea..). Etc...
4. Cum elevul nu are inca notiunea de polinom nu i se poate spune in gimnaziu nici ca ceva de forma f(x)=ax+b, cu a nenul este functie de gradul 1. Atunci el retine (sau ar trebui sa i se spuna) ca acest ceva de forma f(x)=ax+b este o functie ( functie afina), care din punct de vedere geometric are reprezentarea grafica o dreapta (in diferite pozitii in sistemul de axe...). Iar intelegerea suficienta i se va forma numai daca mai tarziu (sau deloc) va studia pe filiera de matematica...liceu, facultate..
5. Atentionarea Dv. are menirea de a avertiza ca si profesorii au datoria sa nu incurce , nici in limbaj, semnificatia unui anumit continut, punand pe elevi in situatii de confuzie sau neintelegere

.....

[constantin_obreja]

Desi va dau dreptate, am mai spus asta, cred ca uneori trebuie sa facem un compromis, o intelegere tacita intre partile care intra in discutia actului educational! Prea multa rigoare (formala) poate dauna grav sanatatii intelegerii fenomenului in sine! Ca sa ma explic: dvs., ca si mine, ati invatat geometria lui Hollinger, in care triunghiurile erau egale, proprietatea bisectoarei era tratata cu ... discretie, eventual ca loc geometric, functiile au aparut tarziu (prin liceu), da fel si dependentele functionale (care astazi se cer INAINTEA introducerii notiiunii de functie!) etc. si nu vad cu ce v-au incurcat! Ati inteles intr-un moment un fapt care A FOST RETUSAT sau REDEFINIT ulterior in functie de NIVELUL DE INTELEGERE al celui care recepteaza notiunea. In cls7 nu demonstram ca celebrul PI este irational, dar ... se cere sa se stie asta!!! V-a demonstrat cineva, macar la facultate, ca PI este irational? Eu nu tin minte sa fi avut un asemenea curs! Ca exista carti si daca ne intereseaza putem sa ne informam, asta e alta problema! Termenii folositi in matematica unei vremi sunt NISTE CONVENTII utilitare si ... nimic mai mult! Ganditi-va la LATURILE NEPARALELE ale unui trapez! Am mai spus despre asta: Daca AB||CD, atunci inculpatele sunt BC si AD! Dar AB si BC sunt concurente, deci pot fi numite .. laturi neparalele!!! Si daca trapezul este isoscel ....
In sem. II vor fi funtii in teza UNICA. Vreau sa va spun ca dincolo de denumiri, inca mai sunt MULTI copii care nu stiu sa citeasca f:R->R ( f impartit la R rezulta R)! Sa le spui de functie afina? Se gandesc la afinata! Sau macar la afine intr-o dulceata!
Cred ca se poate face matematica si fara o pretentiozitate stiintifica exagerata dupa cum ... se poate si invers!
Numai bine,

[mariusb]

Desi va dau dreptate, am mai spus asta, cred ca uneori trebuie sa facem un compromis, o intelegere tacita intre partile care intra in discutia actului educational! Prea multa rigoare (formala) poate dauna grav sanatatii intelegerii fenomenului in sine! Ca sa ma explic: dvs., ca si mine, ati invatat geometria lui Hollinger, in care triunghiurile erau egale, proprietatea bisectoarei era tratata cu ... discretie, eventual ca loc geometric, functiile au aparut tarziu (prin liceu), da fel si dependentele functionale (care astazi se cer INAINTEA introducerii notiiunii de functie!) etc. si nu vad cu ce v-au incurcat! Ati inteles intr-un moment un fapt care A FOST RETUSAT sau REDEFINIT ulterior in functie de NIVELUL DE INTELEGERE al celui care recepteaza notiunea. In cls7 nu demonstram ca celebrul PI este irational, dar ... se cere sa se stie asta!!,

Pe deplin de acord cu ce afirma mai sus.

Dar (totusi) trebuie sa facem (cred) distinctie intre ce se intelege (sau ar trebui sa fie rigoare la acest nivel) prin rigoare.
Elevul din clasele primare sau gimnaziale trebuie invatat cu rigoarea matematica (sau logica). Bineinteles nu in sensul arid al notiunilor matematice, ci in sensul prezentarii unei matematici coerente, bine structurata si ,mai ales, grefata pe limbajul accesibil la aceasta varsta.

Din acest punct de vedere inteleg si aprob opinia colegului Botezat D: prezentarea incoerenta a unei notiuni duce, nu numai la o proasta intelegere a notiunii respective, dar (cred) ca mai ales la a spune ca matematica este contradictorie (deci lipsita de rigoare) . De aici mai este un pas pana la ce se afirma din ce in ce mi tare ca ar fi inutila de studiat in preuniversitar.....
Ori, aici nimic nu depinde de copil, ci totul depinde de modul in care profesorul este pregatit (sau ar trebui sa...) sa prezinte matematica ca fiind ceva logic, ceva consistent, ceva care a izvorit dintr-o nevoie stringenta de a se da solutii la diversele realitati (nu numai antice...sau de demult)
Cred ca matematica a suferit, si va mai suferi mai mult, deoarece profesorii (sper sa nu am dreptate, dar prea sunt multe exemplele care ma imping la aceasta) au pierdut din vedere ca ei sunt cei care , prin modul in care prezinta (e pretentios a spune ca la gimnaziu se preda matematica, poate si mai tarziu) matematica la gimnaziu pune bazele matematicii reale, a unui contact solid (sau nu) cu notiunile matematice.
A prezenta riguros matematica la gimnaziu nu este o chestiune de limbaj (peste el se poate trece, vezi normele noi si viitoare date de lingvisti in privinta vorbirii....) ci, mai ales , de a prezenta ca aceasta este in deplina concordanta cu gandirea umana (si evolutia ei) , si cu realitatea curenta......

[constantin_obreja]

Dincolo de vorbe sunt fapte, evenimente, realitati care trebuie explicate! Rolul matematicii este de a da solutii intr-o anumita conjuctura in care .. se pricepe! Nu va da solutii in procese penale, nu va dirija discutiile intr-un forum etc. ci va folosi OBIECTELE, METODELE si ALGORITMII PROPRII pentru indicarea unor solutii in SFERA ei de acoperire.
Care-i aceasta SFERA? Pentru MAREA MATEMATICA nu stiu sa existe o unitate de masura care sa o masoare! Dar pana a ajunge la ea, trebuie sa acceptam CA STIM cate ceva! Ceea ce mi se pare TOTAL AIUREA in invatamantul actual, nu e faptul ca se folosesc termeni de conjuctura (cam asta era ideea) ci faptul ca S-A PIERDUT ESENTA GANDIRII MATEMATICE. Cati profesori le mai spun elevilor ca Teorema lui Pitagora (!) insemna ca patratele construite pe cele doua catete ale unui triunghi dreptunghic pot fi taiate in asa fel incat din bucatile obtinute sa se constriuasca un patrat cu latura egala cu ipotenuza! ASA A GANDIT PITAGORA sau cei de pe vremea lui! Noi, am formalizat limbajul incat a^2=a*a il vedem doar ca numar; anticii il vedeau ca un patrat, deci il aveau in .. ochi! Si ne mai miram ca ... elevii nu vad legaturile intre elementelele unei figuri! N-au cum! Ganditi-va la un robot care stie toata teoria si i se pune o intrebare. Ce face?
1. Analizeaza intrebarea pentru a descoperi cuvintele cheie.
2. Cauta definitiile cuvintelor cheie.
3. Cauta obiectele legate de aceste cuvinte.
4. Cauta proprietatile acestor obiecte.
5. Cauta legaturile care pot exista intre cerinta si ceea ce a descoperit in pasii anteriori.
6. Cauta, conform programului pe care il are, sa gaseasca puntea de legatura intre datele de intrare si cele rezultante.
7. Daca nu se blocheaza, gaseste si o cale logica de indicare a raspunsului.

Elevul (om fiind!) poate face asta in cateva secunde sau ... ore!
Cred ca fiecare dintre noi stim foarte bine care a fost parcusul inteleciunii matematice pe care a avem! Matematica nu se invata prin injectii de definitii si teoreme (cu sau fara demonstratii) ci prin intelegere efectiva, adaptata la nivelul de intelegere al participantului la actul educational! Detasarea in formalizare poate fi un act de fericire intelectuala, dar nu un act de invatare! Putem invata si gresit (adica formal) pentru a depasi o perioada in care nu suntem capabili sa intelegem anumite lucruri! Asa ar trebui sa le spunem elevilor! Sa spunem raspicat ca nu pot cunoaste in clasele gimnaziale maretia matematicii, ca o vor descoperi mai tarziu, ca vor afla ca modul in care ei pot rezolva ACUM o problema e poate CEL MAI DIFICIL, dar este adecvat nivelului lor de dezvoltare din momentul actual.
Ce spun programele si manualele scolare aprobate de MECT, cat de bine sunt ele adapatate nivelului de intelegere al elevului, NU E TREABA MEA! Cand a fost, CINEVA m-a ... atentionat, cu dragoste parinteasca!

[mariusb]

Sunt 100% de acord cu ce ati afirmat
S-a pierdut matematica vie, reala. Cred ca la gimnaziu (ca un prim pas) trebuie sa se revina urgent la o asemenea matematica