www.didactic.ro

[aladar]

Dupa cum stiti, timp de 1001 nopti, printesa Seherezada i-a spus povesti
sultanului Sahriar. La sfarsitul acestui interval, sultanul i-a declarat:

- Poti ramane sotia mea. Nu te voi ucide, daca vei rezolva urmatoarea
problema: dupa cum stii, in fiecare din cele 1001 nopti petrecute impreuna
am mancat carne de vita, carne de oaie sau peste.
Daca numaram separat aceste nopti, cele trei numere formeaza o progresie
geometrica.

In cate nopti am avut la cina carne de oaie, mancarea mea preferata ?

- Maria ta, nu este frumos ceea ce faceti. Nu am cum sa-mi amintesc ce am
mancat la cina in fiecare noapte timp de aproape 3 ani.
Si oricum, sunt patru solutii la aceasta problema.

- Bine, bine; uite inca un indiciu: ratia progresiei nu este un numar intreg.

Dovedind o adevarata vocatie si pentru matematica, Seherezada a rezolvat
problema si a ramas regina alaturi de Sahriar.

Ce raspuns a dat ea ?

[silviadoandes]

Sunt patru solutii la problema:

Gaseste trei numere naturale, in progresie geometrica, cu suma 1001.

11, 99, 891; cu ratia 9
891, 99, 11; cu ratia 1/9
275, 330, 396; cu ratia 6/5
396, 330, 275; cu ratia 5/6

[silviadoandes]

In 891 nopti au avut la cina mancarea preferata a sultanului!

Grozava problema! Indiciul ajuta, dar dupa ce te incurca de tot.

[aladar]

Conditiile ca cele trei numere sa fie intregi si pozitive restrang multimea
solutiilor la numai 4 triplete de numere intregi:

11, 99, 891 de ratie 9
77, 231, 693 de ratie 3
143, 286, 572 de ratie 2
275, 330, 396 de ratie 6/5.

Ultima este singura progresie in care ratia este un numar fractionar.
Cum carnea de oaie este preferata, rezulta ca ea a fost servita in majoritate.
Deci numarul noptilor in care s-a servit carne de oaie a fost 396.

De fapt sunt 8 solutii (daca se tine cont de ratie);
astfel, la cele de sus se mai pot adauga:
396, 330, 275 de ratie 5/6
572, 286, 143 de ratie 1/2
693, 231, 77 de ratie 1/3
891, 99, 11 de ratie 1/9

Intr-adevar, a fost o posibilitate care mi-a scapat. Privit din acest unghi,
oricare din numerele 396, 572, 693, 891 poate fi solutie. Va trebui regandit enuntul problemei pentru a elimina aceasta ambiguitate.
silviadoandes... se pare ca am scapat de critici...la aceasta problema ,desi le meritam!!!

[silviadoandes]

Mi-au scapat ratiile 2 si 3(de aici si 1/2, 1/3) pentru ca am oprit cautarea dupa ce am gasit patru progresii. M-am luat dupa gura unei femei... ca sunt doar patru solutii. Tocmai eu care cred ca am gandire critica, nu am pus la indoiala gandirea Seherezadei, care:

Dovedind o adevarata vocatie si pentru matematica, a rezolvat
problema si a ramas regina alaturi de Sahriar.

silviadoandes... se pare ca am scapat de critici...la aceasta problema ,desi le meritam!!!

Nu scapi de critici, chiar daca eu am gresit rezolvarea! Dar eu cred ca pana acum am comentat idei si nu am criticat persoane.

Putem modifica enuntul, adaugand:
- sunt 8 solutii
- numarul de nopti in care s-a mancat carne de oaie este ultimul terment al progresiei.

Atunci, din cele 5 progresii cu ratie fractionara, doar una are mancarea preferata servita de cele mai multe ori.

[silviadoandes]

Sau...
Sa se ceara o progresie geometrica cu ratie supraunitara, pentru ca asta este cel mai greu de gasit (cea cu 5/6 iese apoi).
275, 330, 396; cu ratia 6/5

Pentru a gasi o ratie de forma x/y, cu x>y:
-am luat cei trei termeni ai progresiei de forma
a*y^2, a*y^2*(x/y), a*y^2*(x^2/y^2),
-am rerolvat, in N*, ecuatia:
a(y^2+yx+x^2)=7*11*13, care are totusi trei necunoscute a, x, y.
a este 1, 7, 11, 13, 77, 91, 143, sau 1001(cei sase divizori ai lui 1001).
...............................
Gasim solutia unica x=6 si y=5.

[silviadoandes]

Celelalte triplete 11, 99, 891; 77, 231, 693; 143, 286, 572
au cel mai mic numar un divizor al lui 1001 si de aceea sunt mai usor de gasit.